国家级精品课程课件——计量经济学 第四讲(1)

发布时间:2021-11-29 19:44:26

计量经济学
Econometrics
王维国

东北财经大学

第四讲( 第四讲(1)多元回归模型及其估计问题

第一节 三变量模型:符号与假定 第二节 对复回归方程的解释 第三节 复判定系数R 2与复相关系数

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三变量模型: 第一节 三变量模型:符号与假定

一、三变量的总体回归模型 二、经典线性回归模型的假定

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一、三变量的总体回归模型 三变量的总体回归模型
Yi = β 1 + β 2 X 2 i + β 3 X 3i + u i
= E (Y i X 2 i , X 3 i ) + u i

系统变化部分 非系统变化部分

β2和β3 是偏回归系数
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二、经典线性回归模型的假定
1. 干扰项 u 的均值为零; 2. 各干扰项 u 之间无自相关; 3. 同方差性或干扰项 u 的方差相等; 4. 干扰项 u 与各解释变量X 的协方差为零; 5. 正确地设定模型; 6. X诸变量之间没有精确的线性关系。

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第二节 对复回归方程的解释

一、总体复回归函数 二、偏回归系数的含义 三、偏回归系数的OLS与ML估计

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一、总体复回归函数

E (Y i X 2 i , X 3 i ) = β 1 + β 2 X 2 i + β 3 X 3 i

多个解释变量的 固定值为条件的 回归分析

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二、偏回归系数的含义
Yi = β 1 + β 2 X 2 i + β 3 X 3i + u i
Y = β2 X2 度量了在保持X3 不变的条件下, X2 改变一个单位Y的*均改变量。

Y X3

= β3

度量了在保持 X2 不变的条件下, X3 改变一个单位Y的*均改变量。

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三、偏回归系数的OLS与ML估计 偏回归系数的 与 估计
(一)OLS估计量 (1) )OLS估计量 )

样本回归函数: Yi = β1 + β 2 X 2i + β 3 X 3i + u i
OLS就是要选择未知参数,使得残差(RSS)* 方和最小,即

ui2 min. RSS = min. ∑
= min.

β X β X )2 (Yi β1 2 2i 3 3i ∑

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(一)OLS估计量(2) )OLS估计量( 估计量
对未知参数求微分 RSS ^ ^ ^ =2 Σ ( Y - β1- β2X2 - β3X3)(-1) = 0 ^ β1 ^ ^ ^ RSS =2 Σ ( Y - β - β X - β X )(-X ) = 0 1 2 2 3 3 2 ^ β
2

RSS ^ ^ ^ =2 Σ ( Y - β1- β2X2 - β3X3)(-X3) = 0 ^ β
3

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(一)OLS估计量(3) )OLS估计量( 估计量

整理方程: ^ ^ ^ nβ1 + β2 ΣX2 + β3 Σ X3 = ΣY

^ ^ ^ β2 ΣX2 + β2 ΣX32 + β3 Σ X2X3 = ΣX2Y ^ ^ ^ β1 ΣX3 + β2 ΣX2X3 + β3 Σ X32 = ΣX3Y

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(一)OLS估计量(4) )OLS估计量( 估计量
解正规方程组得

β1 = Y β 2 X 2 β 3 X3
(Σyx2)(Σx32) - (Σyx3)(Σx2x3) ^ = β2 (Σx22)(Σx32) - (Σx2x3)2 ^ = β3 (Σyx3)(Σx22) - (Σyx2)(Σx2x3) (Σx22)(Σx32) - (Σx2x3)2

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(二)OLS估计量的方差和标准误差(1) )OLS估计量的方差和标准误差( 估计量的方差和标准误差
var( β1 ) =
2 2 2 1 X 2 ∑ x3i + X 32 ∑ x2i 2 X 2 X 3 ∑ x2 i x3i 2 + σ 2 2 2 n ∑ x 2 i ∑ x3 i ( ∑ x 2 i x 3 i )
2 x3i ∑ 2 2 x 2 i ∑ x 3 i ( ∑ x 2 i x3 i ) 2 ∑ 2 x2 i ∑

var(β 2 ) =

σ 2

var(β 3 ) =

2 2 x2i ∑ x3i (∑ x2i x3i ) 2 ∑

σ 2

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(二)OLS估计量的方差和标准误差(2) )OLS估计量的方差和标准误差( 估计量的方差和标准误差
OLS估计量得标准误差
表示 OLS估 计量

se( β s ) = + var(β s )
回归的标准误

σ2 =

ui2 ∑ nk

=

ui2 ∑ n3

σ 2 的无偏估计量

模型中未知参数的个数

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(三)OLS估计量的性质 )OLS估计量的性质

1.回归线(面)经过均值 Y , 2 和 X 3 。 X 2.估计的均值等于实测均值,即 3.残差的均值等于0,即

Y =Y

u =0

4.残差和预测值不相关,即 5.残差和诸Xs不相关,即

∑ uy = 0
s

∑ uX

=0

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(四)最大似然估计量
复回归系数的ML 估计量和OLS估计 量相同。

ui ~ N (0, σ )
2

σ

2

的ML估计量

~ σ2 =

i2 ∑u n

与解释变量的个数无关

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复判定系数R 第三节 复判定系数 2与复相关系数
一、复判定系数的计算及含义 二、美国的期望扩充菲利普斯曲线 三、从复回归的角度看简单回归:设定偏误初探 四、R 2及校正R 2 五、偏相关系数 六、案例:柯布—道格拉斯生产函数:函数形式再议 七、多项式回归模型

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一、复判定系数的计算及含义(1) 复判定系数的计算及含义(
1.总离差*方和的分解 总离差*方和的分解

(Yi Y )2 + (Yi Y ) = ∑ ∑
2

(Yi Yi )2 ∑

总离差*方和TSS

残差*方和RSS

回归*方和ESS

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一、复判定系数的计算及含义(2) 复判定系数的计算及含义(
2. R2的定义

ESS R = TSS
2

表示Y的变异 被X2和 X3联合 解释的比例

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二、美国的期望扩充菲利普斯曲线

Yi = β1 + β 2 X 2i + β 3 X 3i + ui

σ

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三、从复回归的角度看简单回归:设定偏误初探(1) 从复回归的角度看简单回归:设定偏误初探(

Yi = β1 + β 2 X 2i + β 3 X 3i + ui (假设为真实的模型)
(省略变量X3)

Yi = b1 + b12 X 2i + u1i
X 2 对Y的直接影响β 2 b12 = X 2 对X 3的直接影响b32 X 2 对Y的直接影响 X 对Y的直接影响β 3 3

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三、从复回归的角度看简单回归:设定偏误初探(2) 从复回归的角度看简单回归:设定偏误初探( Y 对Y的直接影响 3 的直接影响β X3

X2

对X3的直接影响b32

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及校正R 四、R 2及校正 2(1) )

假设 X4 不是解释变量但是 包括在模型中

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及校正R 四、R 2及校正 2(2) )
R2是模型中解 释变量个数的 非减函数。 比较两个R2时必 须考虑解释变量 的个数 (定义校正的R2)

实质是对增 加的变量个 数的惩罚

R 2 = 1

ui2 /(n k ) ∑ yi2 /(n 1) ∑

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四、R 2及校正R 2(3) 及校正 )
R 2 的性质
n 1 R = 1 (1 R ) nk
2 2

对于k >1,R 2< R 2。 R 2必定非负,但是 R 2可以是负的。 只能够对相同被解释变量的R2和 R 2进行比较。

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五、偏相关系数

(一)简单与偏相关系数的释义 (二)偏相关系数的计算与意义 (三)简单与偏相关系数的关系

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(二)偏相关系数的计算与意义
=X3保持不变下的Y和X2的偏相关系数

r132=X2保持不变下的Y和X3的偏相关系数

r231= Y 保持不变下的X2和X3的偏相关系数
从Y对X3 回归和 从X2对X3回归分 别得到的残差之 间的简单相关系 数。 东北财经大学数量经济系

(三)简单相关与偏相关系数的关系

r12 3 =
r13 2 =

r12 r13 r23
2 2 (1 r13 )(1 r23 )

r13 r12 r23
2 2 (1 r12 )(1 r23 )

r231 =

r23 r12 r13
2 2 (1 r12 )(1 r13 )

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道格拉斯生产函数: 六、案例:柯布—道格拉斯生产函数:函数形式再议 案例:柯布 道格拉斯生产函数

Yi = β1 X 2i X 3i e

β2

β 3 ui

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七、多项式回归模型
(一)模型的形式

Yi = β 0 + β1 X 2i + β 2 X + u i
2 2i

只有一个解释变量,但以不同的乘方出现; 模型是参数线性的; 不会产生多重共线性的问题。

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(二)估计总成本函数

2 Yi = β 0 + β1 X 2i + β 2 X 2i + u i

符 号

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